Méthode des rectangles - Rectangles inférieurs

On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=x^2\) pour tout \(x \in [1~;~4]\) .
Soit \(\mathscr C\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
On s'intéresse à l'aire, en unité d'aire, du domaine \(\mathscr D\) délimité par la courbe  \(\mathscr C\) , l'axe des abscisses et les droites d'équations  \(x=1\)  et  \(x=4\) .
Soit \(n\) un entier strictement positif. On subdivise l'intervalle \([1~;~4]\) en \(n\) intervalles.
On considère les rectangles construits selon la méthode précédente.

On définit la suite finie des abscisses de la subdivision \((x_k)_{0\leqslant k\leqslant n−1}\) , par \(x_k = 1+k × \dfrac3n\) .
1. Soit \(k\) un entier tel que \(0 \leqslant k \leqslant n −1\) . Exprimer l'aire du rectangle \(\text A_k\text B_k\text B_{k+1}\text C_{k}\) en fonction de \(x_k\) et \(n\) .
2. Exprimer, en fonction de \(n\) , la somme \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} k\) . 
On admet  que  \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} k^2 = \dfrac{n(n-1)(2n-1)}{6}\) . 
3. a.  Démontrer que la somme des aires des rectangles inférieurs est donnée, pour tout entier \(n\) strictement positif, par \(S_n = \dfrac{3(14n^2 −15n +3)}{2n^2}\) .
    b.  Calculer la limite de \((S_n)\) .